O Teorema de Gauss-Bonnet e Aplicações.

Descrição

O presente projeto propõe uma investigação sistemática e rigorosa do Teorema de Gauss-Bonnet, um dos resultados centrais da matemática moderna, que estabelece uma profunda conexão entre a Geometria Diferencial e a Topologia. O teorema relaciona a curvatura gaussiana de uma superfície, grandeza de natureza local e diferencial, com a característica de Euler-Poincaré, invariante topológico de caráter global que captura a estrutura essencial da superfície independentemente de deformações contínuas. Trata-se, portanto, de um resultado que transcende fronteiras disciplinares e oferece uma perspectiva unificadora sobre objetos geométricos. A investigação será conduzida em nível de iniciação científica, com o objetivo de formar estudantes de graduação em Matemática no domínio das ferramentas e dos conceitos necessários para compreender, demonstrar e aplicar o Teorema de Gauss-Bonnet em suas versões local e global. O percurso investigativo partirá do estudo das superfícies regulares e das formas fundamentais, avançará pelos símbolos de Christoffel, derivada covariante e curvatura geodésica, e culminará na demonstração completa do teorema e na análise de suas principais consequências matemáticas. O projeto está estruturado para acolher até dois estudantes bolsistas, com eixos temáticos complementares: o primeiro centrado nos aspectos geométrico-diferenciais, abrangendo os fundamentos e a demonstração da versão local do teorema, e o segundo voltado aos aspectos topológicos e às aplicações globais, incluindo a triangulação de superfícies, a característica de Euler-Poincaré e a classificação topológica de superfícies compactas orientáveis. Caso apenas uma cota seja concedida, o plano de trabalho será ajustado para que um único bolsista percorra os tópicos essenciais de forma progressiva, sem prejuízo à qualidade da formação. Ao final, espera-se que os estudantes vinculados ao projeto sejam capazes de apresentar os resultados obtidos em seminários e congressos de iniciação científica, contribuindo para a difusão da matemática pura na comunidade acadêmica da UFAL. A pesquisa se apoia em referências clássicas e consagradas da área, como as obras de Manfredo Perdigão do Carmo, de Sebastian Montiel e Antonio Ros, e de Paulo Ventura Araújo, garantindo solidez bibliográfica e alinhamento com os padrões internacionais de rigor matemático. A relevância do projeto reside não apenas na formação técnica dos bolsistas, mas também na possibilidade de produção de material didático que possa beneficiar outros estudantes do curso de Matemática da UFAL, e na preparação de pesquisadores jovens para a pós-graduação em geometria e áreas afins.