Superfícies Regulares e as Curvas Geodésicas

Descrição

No presente projeto, nos propomos a realizar um estudo sobre as curvas geodésicas (ou simplesmente, geodésicas) definidas em superfícies regulares do espaço Euclidiano R³, destacando importantes classes de superfícies regulares, tais como as superfícies completas e as superfícies de revolução. Devemos ressaltar que uma geodésica definida sobre uma superfície regular é uma curva parametrizada diferenciável não-constante, cujo campo de vetores tangentes é paralelo ao longo da curva no parâmetro, isto é, a derivada covariante do campo de vetores tangentes é identicamente nula. Sabe-se ainda que as curvas geodésicas são localmente minimizantes, ou seja, todo arco de geodésica suficientemente pequeno é uma curva minimizante (isto é, uma curva que minimiza distâncias). Por outro lado, curvas diferenciáveis em uma superfície regular nas quais todo arco suficientemente pequeno é uma curva minimizante são necessariamente curvas geodésicas. Destaca-se ainda que no caso particular das superfícies completas, toda curva geodésica pode ser estendida a uma curva geodésica com parâmetro definido para todo valor real e quaisquer dois pontos podem ser ligados por uma geodésica minimizante.