Espaços de Sobolev: fundamentos teóricos, propriedades funcionais e aplicações em equações diferenciais parciais

Descrição

Este projeto de pesquisa tem como objetivo investigar os Espaços de Sobolev, destacando seus fundamentos teóricos, suas principais propriedades funcionais e suas aplicações no estudo das equações diferenciais parciais. Esses espaços desempenham papel central na análise moderna, especialmente por possibilitarem a generalização do conceito clássico de derivada por meio da noção de derivada fraca, permitindo o tratamento rigoroso de funções menos regulares. A pesquisa pretende abordar a definição dos espaços $W^{k,p}(\Omega)$, suas propriedades estruturais, como completude, imersão, compacidade e traço, bem como sua relevância na formulação fraca de problemas de valor de contorno. O estudo será desenvolvido por meio de pesquisa bibliográfica de natureza teórica, com base em obras clássicas da Análise Funcional e da teoria das Equações Diferenciais Parciais. Espera-se, ao final, sistematizar os principais resultados associados aos Espaços de Sobolev e evidenciar sua importância como ferramenta fundamental para o estudo de existência, unicidade e regularidade de soluções fracas de equações diferenciais parciais.